Из практики известно, что одноименные детали имеют различные сроки службы даже тогда, когда они изготовлены на одном и том же предприятии, из одного и того же материала, по однотипной технологии и эксплуатируются примерно в одинаковых условиях, т. е. наблюдается явление, именуемое рассеиванием долговечности, которое оказывает большое влияние на выбор сроков службы и запасов прочности, анализ результатов расчетов и эксплуатации, планирование роста парка машин и организацию их ремонта.

 Рассеивание долговечности происходит по различным причинам. Например, когда долговечность ограничивается недостаточной износостойкостью;  причинами рассеивания являются: различие в механических свойствах поверхностей трения; разные условия их контакта; колебания величин нагрузки; изменения свойств смазки и др. Когда долговечность ограничивается недостаточной усталостной прочностью, то главной причиной рассеивания является поликристаллическое неоднородное строение металла.

Рисунок 24

 Представление о характере и диапазоне рассеивания дают «кривые выхода из строя» или «кривые работоспособности».

 На рис. 24 показаны кумулятивные кривые распределения, или рассеивания, долговечности, т. е. кривые накопленной частоты разрушения. Для их построения по оси абсцисс откладывают долговечность в выбранных измерителях, а по оси ординат - количество деталей (узлов или машин), не разрушавшихся при достижении данной долговечности (рис. 24, а) или, наоборот, разрушившихся, не достигнув ее (рис. 24, 6).

 О диапазоне рассеивания долговечности многих наиболее распространенных деталей можно судить, например, до результатам лабораторных и производственных испытаний подшипников качения и зубчатых колес.

 Соотношение между максимальной и минимальной долговечностью высококачественных подшипников одной партии нормальной точности при стендовых испытаниях в одинаковых условиях составляет для шариковых подшипников величину порядка 1: 40, для роликовых - 1 : 20.

 По результатам очень многих испытаний диапазон рассеивания долговечности различных зубчатых колес лежит в пределах от 1: 2 до 1: 15.

 В подобном случае срок службы детали рассчитывают методом, базирующимся на основах математической статистики.

 Для простоты все рассуждения о вычислении срока службы строятся при том предположении, что сроки службы до появления предельного износа исследуемой детали имеют нормальное (Гауссово) распределение. Это распределение, как известно, описывается уравнением:

                                       (90)

где

                                     (90а)

В этих равенствах:

Р  - накопленный процент, т. е. процент всех подопытных деталей, выбывших из строя по причине износа через х дней фактической службы;

у  - некоторое вспомогательное переменное;

м - теоретическое среднее (математическое ожидание);

? - среднее квадратическое отклонение (стандарт), равное корню из дисперсии.

 Положим, необходимо определить средний срок службы какой-либо детали. Каждая из подопытной партии деталей служит непрерывно, и никакого уменьшения первоначальной численности партии по другой причине, кроме износа, не происходит.

 Наблюдениями установлено: через X₁ дней фактической службы выбыло Р1% деталей; через Х₂ дней от начала наблюдений выбыло всего Р₂% деталей; через Х₃ дней - Р₃% и т. д.; через Х_n дней - Р_n%. Нет нужды проводить наблюдения до конца опыта, т. е. определять срок, когда выбудут все 100% деталей партии. Задача заключается в том, чтобы на основании этих опытов (малых выборок) найти теоретическое среднее (М) и среднее квадратическое отклонение (?).

 Вначале следует заметить, что уравнение, связывающее x и y, содержит М и y, а уравнение, связывающее Р и у, не содержит M и ?. Это значит, что связь между Р и у одна и та же для любой детали и для любого дефекта и что можно составить таблицу, устанавливающую эту связь. В каждом учебнике по математической статистике или теории вероятностей имеются таблицы значений интеграла вероятностей Гаусса. Путем некоторых преобразований данным этой таблицы придают удобный для расчета вид (табл. 3).

 При помощи такой таблицы по заданному значению у находят Р, и наоборот. Вычисление проводят по схеме, данной в табл. 3. Эту таблицу заполняют следующим образом. Во вторую графу вписывают полученные из опыта значения Х_i, (где i =1,2, 3, ..., n), а в третью графу - соответствующие значения Рi. После этого, взяв каждое полученное значение Р_i, находят по табл. 3 соответствующее значение y, которое вписывают в четвертую графу табл. 3.

Таблица 3

 Точки с координатами (Х₁, y₁, (Х_2,У₂),...,(Х_n, Уn) в системе прямоугольных координат укладываются на линию, близкую к прямой, хотя теоретически эта линия не должна отличаться от прямой. Обнаруженное отличие объясняется ошибками наблюдения и ошибками репрезентивности (представительности) выборки.

 Применяя к указанным точкам способ наименьших квадратов, находят уравнение прямой:

y = kx + b,                                      (91)

для которой сумма квадратов отклонений ординат данных точек от ординат соответствующих точек прямой имеет наименьшее значение. Параметры b и k уравнения этой прямой удовлетворяют следующей системе:

                                             (92)

 Из уравнений (90а) и (91) следует, что

k = 1/?    и    b = - M/?.

  Тогда система (92) получает вид:

          (93)

 Умножив на  ? и сделав простейшие преобразования, решим полученные уравнения относительно M и ?:

                                             (94)

                                             (95)

 Ниже рассмотрен пример определения среднего срока службы деталей (М) и квадратическое отклонение распределения (?) при наличии следующих опытных данных о накопленных процентах предельного износа деталей.

          Фактический срок службы        Количество деталей, достигших

                   в днях (x_i)                       предельного износа (в % от общего

                                                            количества опытной партии) (P_i)  

                         60                                                    6.3

                         90                                                   15.8

                        120                                                  37.8

 Подготовляют таблицу по типу табл. 3 и по условиям примера заполняют графы Х_i и P₁ (табл. 4).

Таблица 4

 В таблице значений интеграла Гаусса значениям Р_i (6,3; 15,8 и 37,8) находят значения y_i, которые вносят в табл .4. Oстальные графы табл. 4 получаются из первых только что заполненных трех.

 Теперь воспользовавшись уравнениями (94) и (95), в итоге получают:

М = 136 и ? = 49,1.

 Затем сравнивают теоретическое распределение с наблюдавшимися на опыте. Для этого по значениям  y = (x-M)/? в табл. 4 находят значения P_i и сравнивают с опытными данными. Полученные результаты сводят в табл. 5

Таблица 5

 Из этой таблицы видно, что наибольшее расхождение между теоретическим и экспериментальным распределениями достигает всего 1,6%.